2022河北单招考试数学大纲-第二章

第二章数列

知识点一:等差数列

1.等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

要点诠释

判断数列{an}是等差数列的方法如下.

（1）定义法:an + 1 - an = d（常数）（n6）（an）是等差数列；（2）中项公式法:2an + 1 = an + an + 2（nCN*）台{an}是等差数列；（3）通项公式法:an = kn + b（k，b是常数，且n6.）（can）是等差数列；

（4）前n项和公式法:`S _________ n` = An² + Bn（A，B是常数，且n\@\@\@{an}是等差数列.

2.等差数列的通项公式

（1）已知等差数列{an}的首项是a，公差是d，则等差数列的通项公式为an = a1 + （n - 1）d.

（2）已知等差数列{an}的某一项是am（m < n），公差是d，则等差

数列的通项公式为an = am + （n - m）d.

要点诠释

①（an）为等差数列\@an为n的一次函数或an为常数\@an = kn + b（n N + ）

②在等差数列（an）中，an = kn + b是关于n的一次函数（或常数函数），且一次项系数k为公差d；

③当k = d > 0时，{an}为递增数列；当k = d < 0时，{an}为递减

数列；当k = d = 0时，{an}为常数列.

3.等差数列的前n项和公式

S侧 = = n`a _________ 1` + d（其中n）n²，`a _________ 1`为首项，d为n（a1 + an）n（n - 1）

公差，an为第n项）

4.等差中项

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项，事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项.若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，即A = 或2A = a + b.

5.等差数列前n项和的性质

（1）等差中项:若a，G，b成等差数列，则G = ；

（2）若m + n = p + q（m，n，p，q，），则am + an = ap + aq；（3）若m + n = 2p，则am + an = 2ap；

（4）在等差数列{an}中，若ap = 0，则`S _________ m` = `S _________ （（2p+m））`成立；

（5）若数列{an}是等差数列，`S _________ n`是其前n项的和，则`S _________ （k _________ ` - `S _________ k`，`S _________ （3k）` - `S _________ （2k）`成等差数列，其公差为n²d（k\@N*）；

（6）若{an}是等差数列，公差为d，则{a _________ n}也是等差数列，公差为2d.

（7）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan + qbn}也是等差数列；

（8）若{an}，{bn}是等差数列，则{yan + bn}，{`y _________ 1`an + `y _________ 2``b _________ n`）都为等差数列；

（9）若{an}是等差数列，每隔k（k6）项取出一项（am，am + k，am + 2k，am + 3k…）仍为等差数列；

（10）若等差数列（a，），（bm）的前n项和为Am，Bm，则 = |

6.计算公差d的常见方法

①d = an - an - 1；②d = ；③d = .

7.等差数列前n项和的最值及方法

在等差数列{an}中，a1 > 0，d < 0，则`S _________ n`存在最大值；若`a _________ 1` < 0，d > 0，则`S _________ n`存在最小值.

（1）运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解.

（2）通项公式法:求使an≥0（an≤0）成立时最大的n值.

一般地，在等差数列{an}中，若a1 > 0，且`S _________ p` = `S _________ （`）（p≠q），则有以下结论.

①若p + q为偶数，则当n = 时，`S _________ n`最大；

②若p + q为奇数，则当n = 或n = 时，`S _________ n`最大.p + q + 1

（3）邻项变号法:①a1 > 0，d < 0时，满是“的项数m使得

am + 1≤0

s.取得最大值为S.；②当a1 < 0，d > 0时，满是（\sqrta + a）/（a - 2）°0），的项数m使得`S _________ n`取得最小值为`S _________ （m·）`.

8.奇数项和与偶数项和的关系

设数列{`a _________ n`}是等差数列，`S _________ 奋`是奇数项的和，`S _________ 侧`是偶数项的和，`S _________ n`是前n项的和，则有如下性质.

（1）`S _________ n` = `S _________ 奇` + `S _________ 侧`；

（2）当n为偶数时，`S _________ 侧` - `S _________ 奇` = d，其中d为公差；

（3）当n为奇数时，S《 - S侧 = a中，S侧 = ，`S _________ 侧` = a中， = ，`（S _________ （sqrt（s _________ ） _________ （s _________ ）` = = n（其a甲是等差数列的中间一项）.

9.等差数列前n项和与通项的关系

若等差数列{an}的前2n - 1项的和为`S _________ （2n-1）`，等差数列{bn}的前2n - 1项的和为`S _________ （n-1）`，则 = .

10.解决等差数列基本量计算问题的思路

（1）在等差数列{an}中，a与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程（组）求解即可.

（2）与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an = a1 + （n - 1）d和前n项和公式`S _________ n` = = na1 + n（a1 + an）

d，在两个公式中共涉及五个量:a1，d，n，an，`S _________ n`，已知2其中三个量，选用恰当的公式，利用方程（组）可求出剩余的两个量.

知识点二:等比数列

1.等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示.

数学语言表达式: = q（n≥2，q为非零常数）或 = q（n）`a _________ n-1`N*，q为非零常数）.

要点诠释等比数列的判定方法如下.

（1）定义法:若 = q（q为非零常数，n≤N·）或 = q（q为非

`d _________ n` - 1

零常数且n≥2，n\@N*），则{{an}是等比数列.

（2）等比中项公式法:在数列（an）中，an≠0且`a _________ （n+1）` = an·an + 2（nEN*），则数列{an}是等比数列.

（3）通项公式法:若数列通项公式可写成an = c·qn（c，q均是不为0的常数，n N*'），则{an}是等比数列.

（4）前n项和公式法；若数列{an}的前n项和`S _________ n` = k·qn - k（k为常数且k≠0，q≠0，1），则{an}是等比数列.

2.等比数列的通项公式

（1）已知等比数列{an}的首项是a，公比是q，则等比数列的通项公式为an = a1q^n - 1；

（2）已知等比数列的某一项是am（m < n），公比是q，则等差数列的通项公式为an = amqn - m.

3.等比数列前n项和公式当q = 1时，`S _________ n` = n`a _________ 1`；

当q≠1时，`S _________ n` = = .`a _________ 1`（1 - qⁿ）1 - q

4.等比数列通项及前n项和的性质

（1）如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（G² = ab）；

（2）若m + n = p + q = 2k（m，n，p，q，k≤N*），则am·an = ap··

aq = a；

（3）等比数列（an）的通项公式an = a1q^（n-1） = qm² = AB″（A·B≠0）是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q；

（4）若{an}为等比数列，则数列`a _________ 1`·`a _________ 2`…`a _________ n`，`a _________ n` + 1`·`a _________ n + 2`…`a _________ 2n`，

a2n + 1.a2n + 2…a3n，成等比数列；

（3）若数列（a，），（b，）是等比数列（项数相同），则（`a _________ n`），`（`1/a^2`），（`a^2`），（an·bm），（`（a^2）/n`）（入≠0）仍然是等比数列；

（4）在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，

即an，an + k，an + 2k，an + 3k，…为等比数列，且公比为q^k；

（5）已知公比不为 - 1的等比数列{an}的前n项和为`S _________ n`，则`S _________ n`，`S _________ （2n）` - `S _________ （n）`，`S _________ （3n）` - `S _________ （2n）`仍成等比数列，其公比为qⁿ；

`a _________ 1` < 0，

（6）当或时，等比数列{an}是递增数列；当0 < q < 1q > 125`a _________ 1` > 0，或0 < q < 1q > 1

（7）当q = 1时，等比数列{an}是常数列；当q < 0时，等比数列{an}

是摆动数列；

（8）若{a，}是公比为q的等比数列，则`S _________ （n+m）` = `S _________ n` + qⁿ·`S _________ （m；）`；

（9）在等比数列（a，）中，当项数为2n（n）时， = .（分子标注奇，分母标注偶）

知识点三:数列的综合与应用

1.数列常见的几种形式

（1）an + 2 = pan + 1 + qan（p，q为二阶常数）

用特征根方法求解，具体步骤如下:①写出特征方程x² = px + q（x²对应`a _________ （n+2）`，x对应`a _________ （n+1）`），并设二根`x _________ 1`，`x _________ 2`；②若`x _________ 1`≠`x _________ 2`，可设an = `c _________ 1``x _________ 1` + `c _________ 2`xn²；若`x _________ 1` = `x _________ 2`可设`a _________ n` = （`c _________ 1` + `c _________ 2`n）`x _________ 1`；③由初始值`a _________ 1`，`a _________ 2`确定`c _________ n`，`c _________ 2`.

（2）an = pan - 1 + r（P，r为常数）

①转化等差、等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an + 2 = pan + 1 + qan的形式，再用特征根方法求an；④an = `c _________ 1` + `c _________ 2`p^（n-1）（公式法），`c _________ 1`，`c _________ 2`由`a _________ 1`，`a _________ 2`确定.具体如下:

①转化等差、等比:an + 1 + x = p（an + x）→x = .

②选代法:an = pan - 1 + r = p（pan - 2 + r） + r = …\@an =

（a1 + ）p^（ch-1） - = （a1 + x））p^（m - 1） - x = p^（n-1a1+）pⁿ - 2·r + … + pr + r.

③用特征方程求解:联立方程 = ，则两式相减可an + 1 = pan + r，

③用特征方程求解:联立方程则两式相减可an = pan - 1 + r，得an + 1 - an = pan - pan - 1→an + 1 = （p + 1）an - pan - 1·

④由选代法推导结果:`c _________ 1` = ，`c _________ 2` = `a _________ 1` + ，`a _________ n` = C _________ （2p^2） + + `c _________ 1` = （`a _________ 1` + ）b^（n+1） + .

2.几种常见的数列的思想方法

（1）等差数列的前n项和为`S _________ n`，在d < 0时，有最大值.如何确定使`S _________ n`取最大值时的n值，有两种方法:一是求使an≥0，an + 1 < 0，成立的n值；二是由`S _________ n` = n² + （`a _________ 1` - ）n利用二次函数的性质求n的值.

（2）如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前n项和的推导方法:错位相减求和.例如:1 × ，3 × ，…（2n - 1），…

（3）两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差`d _________ 1`，`d _________ 2`的最小公倍数.

3.数列求和的常用方法

（1）公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列.

（2）裂项相消法:适用于（），其中（a，）是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等.

（3）错位相减法:适用于{anbn}其中{an}是等差数列，{bn}是各项不为0的等比数列.

（4）倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

4.非等差、等比数列通项公式的求法（1）观察法

已知数列若干项，求该数列的通项公式时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式.

（2）公式法

已知数列的前n项和`S _________ n`与an的关系，求数列{`a _________ n`}的通项公式注:用此公式时，要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即`a _________ 1`和`a _________ n`合为一个表达式（要先分n = 1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）.

（3）累加法

形如an + 1 = an + f（n）型的递推数列，其中f（n）是关于n的函分别相加，可得`a _________ n` = f（n - 1） + f（n - 2） + …f（2） + f（1） +

`a _________ 1`（n≥2）.

①若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；③若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和；④若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和；（4）累乘法

形如an + 1 = anf（n）型的递推数列，其中f（n）是关于n的函数，可

将上述n - 1个式子两边分别相乘法，可得

an = f（n - 1）·f（n - 2）·…·f（2）·f（1）·a1（n≥2）.

有时不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

（5）构造数列法

形如an + 1 = pan + q（其中p，q均为常数且p≠0）型的递推式.

①若p = 1时，数列{an}为等差数列；②若q = 0时，数列{an}为等比数列；

③若p≠1且q≠0时，数列{an}为线性递推数列，其通项公式可通过待定系数法构造等比数列来求.

（6）倒数变换法

形如an - 1 - an = pan - 1an（p为常数且p≠0）的递推式，两边同除以an - 1an，转化为 = + P形式，化归为a（m + 1） = pan + q型，求出的表达式，再求an.

形如an + 1 = 的递推式，也可采用取倒数方法转化成man

an + 1 = + 形式，化归为an + 1 = pa， + q型，求出的表达式，再求an.

5.非等差、等比数列前n项和公式的求法

（1）错位相减法

①若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，则数列{an`b _________ n`}的求和就要采用此法；

②将数列{`a _________ n`·`b _________ n`}的每一项分别乘以{bn}的公比，然后再错位相减，进而可得到数列{an·b，}的前n项和.

（2）裂项相消法

一般地，当数列的通项公式为an = `（an+b1）（an+b _________ ）`（a，b _________ 2）`，b _________ 2C为常数）时，往往可将变成an两项的差，采用裂项相消法求和.

注:设an = - ，通分整理后与原式相比较，根据

对应项系数相等得y = ，从而可得（an + b _________ ）=

C（ - ）.C常见的拆项公式

① = - ；

② = （ - ；③ = （d^a - `（db）`）.

（3）分组求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步:①找通项公式；②由通项公式确定如何分组.

（4）倒序相加法

如果一个数列{an}与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法.特征:a1 + an = a2 + an - 1 = …

（5）常见数列的前n项和

①1 + 2 + 3 + … + n = ；

②1 + 3 + 5 + … + （2n - 1） = n²；

③1² + 2² + 3² + … + n² = n（n + 1）（2n + 1）；

④ = - ； = （ - ）；；⑤ = （）（ - ），其中p < q.

（5）错位相减法（举例说明）

形如\an·bn}的数列求和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，记{an·bn}的前n项和为`S _________ n`.

∵`a _________ n`·`b _________ n` = n·2ⁿ，∴`S _________ n` = 1 × 2 + 2 × 2² + 3 × 2³ + … + （n - 1）·2^（n-1） + n·2ⁿ①，`2S _________ n` = 1 × 2² + 2 × 2³ + … + （n - 1）·2ⁿ + n·2^（n+1）②，∴由① - ②得 - `S _________ n` = 1 × 2 + 1 × 2² + 1 × 2³ + … + 1 × 2“ - n·2^（m+1） = 2 + - n·2^（m+1） = （1 - n）·2 + 1 - 1 - 2，∴`S _________ n` = 2 - （1 - n）·2^（n+1）.

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